左逆行列と右逆行列の一致

こんにちは．simulo(simulo (@simulo_) / Twitter)です．

今日はほぼすべての理系大学生が学ぶ，線形代数の基礎の基礎である逆行列に関する記事です．

逆行列の定義は，以下のものです．

$A$ を体 $\mathbf{K}$ 上の $n\times n$ 行列であるとする．この時，ある $\mathbf{K}$ 上の $n\times n$ 行列 $B$ について， \begin{align} AB=BA=E_n \end{align} をみたすなら， $B$ は $A$ の逆行列であるという．

この定義を素直に受け入れると， $AB=E_n$ だからといって $B$ は $A$ の逆行列とは限らないでしょう．なぜならば， $AB=E_n$ であるときに $BA=E_n$ である，というのは正しいかどうかわからないし，仮に正しかったとしても(数が並んだ行列の見方をする限りは)自明ではないからです．しかし， $AB=E_n$ なら $B$ は $A$ の逆行列である，という議論を疑問に思うことなくしてきた方が多いのではないでしょうか． $AB=E_n$ あるいは $BA=E_n$ ならば $B$ は $A$ の逆行列であるということは事実であるので，何気なくしてきた議論自体に問題はありません．多くのインターネット上の線形代数の資料や(少なくとも自分が受けた)大学での授業では，自明ではないこの重要な事実は証明されない，あるいは触れられすらしない傾向にあります．この記事では，その証明をします．

基本変形・基本行列

まず，行基本変形や列基本変形について復習しましょう．証明に使います．

まず，行基本変形とは $m\times n$ 行列に対し，

$i$ 行目の $c$ 倍を $j$ 行目に加えること $(i\neq j)$
$i$ 行目と $j$ 行目を入れ替えること $(i\neq j)$
$i$ 行目を $c \neq 0$ 倍すること

のいずれかを言います．

同様に，列基本変形とは $m\times n$ 行列に対し，

$i$ 列目の $c$ 倍を $j$ 列目に加えること $(i\neq j)$
$i$ 列目と $j$ 列目を入れ替えること $(i\neq j)$
$i$ 列目を $c \neq 0$ 倍すること

のいずれかを言います．

このように定義したとき，行基本変形の1から3の操作はそれぞれ，行列に左から \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0 & \cdots& 1& & \\ & & \vdots& \ddots &\vdots & & \\ & & 1& \cdots& 0 & & \\ & & & & & \ddots&\\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & \vdots& \ddots & & & \\ & & c& \cdots& 1 & & \\ & & & & & \ddots&\\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & \ddots & & & \\ & & & c & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & &1 \end{pmatrix} をかけることと同じです(実際に計算するとわかる)．数字が書いていない要素は全て0です．ただし，1つ目の行列は $(i,i),(j,j)$ 番目の要素が $0$ で $(i,j),(j,i)$ 番目の要素が $1$ ，2つ目の行列は $(j,i)$ 番目の要素が $c$ ，3つ目の行列は $(i,i)$ 番目の要素が $c$ であるような行列です．これらには逆行列が存在し， \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0 & \cdots& 1& & \\ & & \vdots& \ddots &\vdots & & \\ & & 1& \cdots& 0 & & \\ & & & & & \ddots&\\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & \vdots& \ddots & & & \\ & & -c& \cdots& 1 & & \\ & & & & & \ddots&\\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & \ddots & & & \\ & & & c^{-1} & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & &1 \end{pmatrix} です．実際に左右から掛けてみるとわかります．

列基本変形も同様に特定の形の行列を右からかけることに対応していて，それらの行列には逆行列が存在しています．これらの行列を基本行列とよび，基本行列は正則行列(逆行列が存在する行列)であることを示したわけです．

証明

証明に取り掛かる前に，右逆行列，左逆行列という言葉を定義します．

定義
$A$ を体 $\mathbf{K}$ 上の $n\times n$ 行列であるとする．この時，ある $\mathbf{K}$ 上の $n\times n$ 行列 $B$ について， \begin{align} AB=E_n \end{align} をみたすなら， $B$ は $A$ の右逆行列であるという．また， \begin{align} BA=E_n \end{align} をみたすなら， $B$ は $A$ の左逆行列であるという．

すると，示すべき事実は， $A,B$ を $n\times n$ の正方行列としたときに,

$B$ が $A$ の右逆行列 $\,\, \Leftrightarrow\,\,$ $B$ が $A$ の左逆行列

が成立することであることがわかるでしょう． $\Rightarrow$ さえ示せれば逆は同様に示せるので， $\Rightarrow$ のみ示します．以下，証明の間は常体で日本語を表記します．

$n$ に関する帰納法で示す． $n=1$ のときは明らかに成立している．以下， $n>1$ とすると， $A$ は基本変形を繰り返すことによって, \begin{align} C=\begin{pmatrix} 1&{}^to\\ o&A_1 \end{pmatrix} \end{align} という形になる．つまり，基本行列の積で表される $P,Q$ を用いて， $PAQ=C$ となる．ここで， $P,Q$ は正則行列である基本行列の積であるので，また正則である．ここで， $D=Q^{-1}BP^{-1}$ とし， \begin{align} D=\begin{pmatrix} u& {}^tz\\ y&B_1 \end{pmatrix} \end{align} と表す．このとき， $CD=(PAQ)(Q^{-1}BP^{-1})=PABP^{-1}=PP^{-1}=E_n$ で， \begin{align} E_n=\begin{pmatrix} 1& {}^to\\ o&E_{n-1} \end{pmatrix} \end{align} \begin{align} E_n=CD=\begin{pmatrix} u& {}^tz\\ A_1y&A_1B_1 \end{pmatrix} \end{align} よって，帰納法の仮定より， $A_1$ は正則で， $A_1B_1=B_1A_1=E_{n-1}$ である，また， $z=o$ と， $y=o\ (\because A_1$ は正則 $)$ もわかり， \begin{align} D=\begin{pmatrix} 1& {}^to\\ o&B_1 \end{pmatrix} \end{align} で， $CD=DC=E_n$ がわかる．よって， $C$ は正則で， $A=P^{-1}CQ^{-1}$ も正則である．