こんばんは、simulo_yuiです。

現在の日本の学習指導要領では数Ⅲで学ぶことになっているサイクロイド。最速降下曲線(スロープのようにしたときに一番早くボールが下りてくる曲線)であることや、その等時性などさまざまな面白い性質を持っています。数Ⅲを学習したことがある方なら、その長さや、サイクロイドとx軸で囲まれる面積をいやというほど計算した記憶があるのではないでしょうか。今回はそんなサイクロイドとx軸で囲まれる面積を数Ⅲを使わずとも中学生でも出すことができる、というお話です。

サイクロイドとは？

サイクロイドとは円が直線上を滑らずに転がるときに、直線と接していた円上の点がまた直線と接するまでに動く軌跡のことを言います。口で説明するよりも下の図を見てもらった方が理解が早いと思います。

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上の図では半径1の円が転がっています。中心 $O'$ が $(t,1)(t \in \mathbb{R}, 0 \leq t \leq 2\pi)$ にあるとき、点 $P$ の座標は以下のようにパラメータ表示されます。

$P(t-\sin t,1 - \cos t)$

サイクロイドとx軸で囲まれる部分の面積

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ここで、サイクロイドとx軸で囲まれる部分の面積、すなわち上の図の赤線部の面積 $S$ を考えると、パラメータ表示を利用して、

$S =\int^{2 \pi}_0 y dx = \int^{2 \pi}_0 y \frac{dx}{dt} dt = \int^{2 \pi}_0 (1-\cos t)^2 dt =3\pi$

となり、求める面積は $3\pi$ であったことが分かる。

カヴァリエリの原理を用いて面積を求める

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上の図の横線部の面積 $T$ を考えます。真ん中の円の面積は $\pi$ なので、 $S=3\pi$ を示すには、 $T=\pi$ になることを示せばよさそうです。。

真ん中の円の中心を $O'$ 、円上の点で $O'M$ がx軸と平行になるような点を $M$ とし、 $\angle AOM=\angle BOM = \theta (0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$ となるような円上の点 $A,B$ をとり、サイクロイド上の点 $P,Q$ を $AP \parallel BQ \parallel x軸$ となろようにとり、 $C(\pi,0),O(0,0)$ とします。

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このとき、 $AP+BQ=OC=\pi \qquad \cdots (1)$ が成立しています！

今からこれを示します。

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上の図のように、動円が $P$ を通るときの中心を $O''$ すると、 $AP=O'O''$

が成立しています。ここで、動円が円 $O''$ の位置から円 $O'$ の位置に動くまでには、円は $\frac{\pi}{2}+\theta$ 回転しているので、 $O'O''$ は、円の中心角が $\frac{\pi}{2}+\theta$ の弧の長さに等しく、 $O'O''=\frac{\pi}{2}+\theta$ で、 $AP=\frac{\pi}{2}+\theta$ である。